Untitled Document

[ΒΕΥ103] Γενικά Μαθηματικά

  • Υποχρεωτικό μάθημα

Διδάσκοντες: Διδάσκων από το Μαθηματικό

  • Διδακτικές μονάδες: 5
  • ECTS: 5
  • Θεωρία: 5 ώρες/εβδομάδα

Περιγραφή μαθήματος

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Με την διεξαγωγή του μαθήματος Γενικά Μαθηματικά, καλύπτονται βασικές και απαραίτητες έννοιες στην Μαθηματική Ανάλυση. Διδασκεται η μέθοδος της επαγωγής που είναι βασικό εργαλείο για την λύση προβλημάτων στην ευρήτερη περιοχή των Μαθηματικών. Καλύπτεται επίσης η θεωρία στα κεφάλαια των ακολουθιών και των σειρών αλλά και των δυναμοσειρών, που βοηθούν στην κατανόηση τεχνικών όσον αφορά προσεγγιστικούς υπολογισμούς με ακρίβεια.
Μελετώνται πλήρως οι πραγματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής με συνέπεια την δυνατότητα υπολογισμού εμβαδών και χάραξης γραφήματος αυτών των συναρτήσεων. Μελετώνται επίσης οι πραγματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών, με συνέπεια την γεωμετρική εποπτεία σε σχεδιασμό επιφανειών στον χώρο. Για αυτές τις συναρτήσεις ορίζονται οι μερικές παράγωγοι πρώτης και ανωτέρας τάξης. Τέλος παρουσιαζονται τεχνικές επίλυσης συγκεκριμένου τύπου διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες είναι βασικό εργαλείο στην Μαθηματική Ανάλυση, με εφαρμογές σε όλες τις θετικές επιστήμες

Γενικές Ικανότητες
  • Αυτόνομη εργασία
  • Άσκηση κριτικής σκέψης
  • Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. Η μέθοδος της επαγωγής, εφαρμογές.
2. Συναρτήσεις (στοιχειώδης εισαγωγή). Ακολουθίες, η έννοια του ορίου
ακολουθίας, συγκλίνουσες, φραγμένες, μονότονες, αποκλίνουσες ακολουθίες και ακολουθίες που ορίζονται με αναδρομικό τύπο-σύγκλιση.
3. Σειρές, συγκλίνουσες και αποκλίνουσες, βασικά κριτήρια σύγκλισης ( Dirichlet, κριτήρια σύγκρισης), απόλυτη σύγκλιση, κριτήριο Leibniz, κριτήριο λόγου, ρίζας και συμπύκνωσης του Cauchy, κριτήριο ολοκληρώματος.
4. Βασική θεωρία συναρτήσεων, η έννοια του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης, θεώρημα ενδιάμεσης τιμής (Bolzano), όρια στο άπειρο, αρχή της μετάφοράς και εφαρμογές (μη ύπαρξη ορίου).
5. Παράγωγος συνάρτησης, βασικά θεωρήματα (Rolle, Μέσης τιμής, κανόνας L’Hospital, Fermat).
6. Μελέτη συνάρτησης (μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα, σημεία καμπής, γραφική παράσταση).
7. Ολοκληρώματα, αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα, παραγοντική ολοκλήρωση και ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητών, ιδιότητες, τεχνικές ολοκλήρωσης, εφαρμογές σε υπολογισμούς εμβαδών. Μήκος καμπύλης στο επίπεδο. Γενικευμένα ολοκληρώματα-κριτήρια σύγκλισης.
8. Δυναμοσειρές και πολυώνυμα Taylor, θεώρημα Taylor, ακτίνα σύγκλισης
δυναμοσειράς, σχετικά θεωρήματα και ασκήσεις.
9. Συναρτήσεις δύο μεταβλητών, ακολουθίες στο επίπεδο, όρια και μη ύπαρξη ορίου.
10. Μερική παράγωγος, κανόνας αλυσίδας, μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης.
11. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης: χωριζομένων μεταβλητών, γραμμικές πρώτης τάξης, ομογενείς, γραμμικές δ.ε. 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές, τεχνικές επίλυσης.

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ-ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. "Ανώτερα Μαθηματικά", Τσαμάτος Παναγιώτης, Εκδόσεις Τζιόλα.
2. "Ανώτερα Μαθηματικά", Χρόνης Μωυσιάδης, Εκδότης Α. Και Π. Χριστοδουλίδου.
3."Απειροσικός Λογισμός Τόμος Ι και ΙΙ", Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας, Εκδόσεις Ζήτη.
4. "Απειροστικός Λογισμός Ι και ΙΙ", Σ. Ντούγιας, Leader Books.
5. "Thomas Απειροσικός Λογισμός Τόμος Ι και ΙΙ", R. L. Finney, M. D. Weir, F.R. Giordano, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, (Απόδοση στα Ελληνικά : Μανώλης Αντωνογιαννάκης)
6. "Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός: Μια εισαγωγή στην Ανάλυση, Michael Spivak", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, (Απόδοση στα Ελληνικά : Απόστολος Γιαννόπουλος)